Was ist das Gegenteil von Unendlichkeit?

Nein, die Antwort ist nicht null. Unendlich ist die größte Zahl, die es gibt, also wäre das Gegenteil von Unendlich die kleinste Zahl, die es gibt. Null würde nichts bedeuten, also suchen wir nach einer Zahl nur größer als Null. Wie wir jedoch feststellen werden, ist die Bestimmung dieser Zahl nicht so einfach wie das Zeigen auf die Zahl 1.

Unendlichkeiten sind seltsam

Die Unendlichkeit hat die Menschheit seit der Antike verwirrt. Man muss sich darüber im Klaren sein, dass die Unendlichkeit keine konkrete Zahl ist, sondern eine Idee; es existiert nur in der Abstraktion. Unendlichkeit kann keine konkrete Zahl sein, sagen wir x, weil wir durch die Additionslogik 1 zu x addieren und eine neue Unendlichkeit schaffen können. Wir können dann eine weitere 1 hinzufügen, um eine größere Unendlichkeit zu erzeugen. Wir können tatsächlich Unendlichkeit zu Unendlichkeit hinzufügen, um vielleicht die Unendlichkeit aller Unendlichkeiten zu schaffen, aber dann können wir dies hinzufügen Unendlichkeit eine weitere 1 und … Sie kennen die Übung.

Unendlichkeit. (Bildnachweis: Anthony Jauneaud/Flickr)

Der mikroskopische Bereich ist nicht anders. Das Gegenteil von Unendlich wird als unendlich klein bezeichnet, und seine Natur ist ebenso bizarr. Anders als ganze Zahlen sind reelle Zahlen nicht starr. Ihre zersplitterte Natur ermöglicht es uns, unendliche Zahlen zwischen zwei beliebigen Zahlen zu finden und zu erstellen. Eine Zahl kann so oft kombiniert werden, wie sie geteilt werden kann. Es könnten hundert Zahlen zwischen 0 und 1, von 0,01 bis 0,99 oder sogar Millionen sein, man muss nur Nullen nach dem Komma hinzufügen – zunehmend teilen, um neue Zahlen zu erstellen. Während 0,0000000000000000000000001 unendlich klein erscheint, kann man es einfach durch 10 teilen, um ein neues unendlich kleines zu erstellen – 0,000000000000000001.

Das Infinitesimal existiert also wie die Unendlichkeit nur in der Abstraktion, aber seine unsichere Natur ist nicht nur für Mathematiker, sondern auch für Physiker sehr beunruhigend.

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Unendlich kleine Fehler

Mathematik ist die Sprache, die wir verwenden, um unsere Ideen in der Physik auszudrücken, also übersetzt sich eine Inkonsistenz in der Mathematik in eine Inkonsistenz in der Physik, in unserem Wissen über die Natur – über die Realität. Die Inkonsistenz ergibt sich aus unserer Ungewissheit über den Wert von Infinitesimal, der zur Ableitung vieler entscheidender Formeln verwendet wurde. Tatsächlich basiert ein ganzer Zweig der Mathematik auf der Infinitesimalrechnung, ohne die der Fortschritt in der Physik nur schleppend verlaufen wäre.

Eine Formel, die mir einfällt, ist die Fläche eines Kreises. Kepler berechnete die Fläche eines Kreises, indem er ihn in Dreiecke teilte. Die Fläche des Kreises wäre daher die Summe der Flächen jedes Dreiecks. Ein Kreis kann in vier Dreiecke mit zwei Durchmessern unterteilt werden, aber die Seiten dieser Dreiecke nähern sich den Kurven nicht richtig an, wobei etwas Platz ausgeschlossen wird, sodass die berechnete Fläche fehlerhaft ist.

Um diesen Fehler zu reduzieren, können wir mehr Durchmesser zeichnen, um mehr Dreiecke mit kürzeren Seiten zu erzeugen. Der Fehler wird auf diese Weise zwar reduziert, ist aber immer noch endlich. Also teilen wir den Kreis weiter in immer mehr Dreiecke, bis kein Raum mehr ausgeschlossen ist. Um diesen Fehler jedoch vollständig zu eliminieren, müssen wir ihn in unendlich viele Dreiecke aufteilen. Da nun eine Linie als Teil eines großen Kreises interpretiert werden kann, können wir sagen, dass unser Kreis aus unendlichen Linien besteht, die durch die infinitesimalen Basen unserer unendlichen Dreiecke angenähert werden.

Es fällt auf, dass die Abfolge der Dreiecke an einen chinesischen Fächer erinnert. Alle Dreiecke nehmen eine gleiche Fläche ein, aber wir können den Fächer in ein großes rechtwinkliges Dreieck umwandeln, indem wir diese Fläche verteilen oder strecken. Ihre Umfänge haben sich geändert, aber die Gesamtfläche bleibt gleich. Die Höhe dieses Dreiecks, wobei die Spitze der Mittelpunkt des Kreises ist, ist die Länge des Fächers – der Radius unseres Kreises, und die Basis, der Umfang des Kreises. Die Fläche ist ½ mal Grundfläche mal Höhe, also ½ mal r mal 2πr oder πr².

Unendliche Dreiecke, rechtwinkliges Dreieck und Berechnung

Dies ist natürlich die richtige Antwort, aber das Ergebnis ist immer noch falsch. Die Basen müssen sein wirklich infinitesimal, also obwohl Kepler sehr, sehr, sehr dünne Dreiecke zeichnet, wissen wir, dass er könnte habe mehr gezeichnet. In dem Moment, in dem er aufhört, Dreiecke zu zeichnen, hinterlässt er Räume, zwar wirklich sehr sehr kleine, aber doch endliche. Die Kurven werden dann unzureichend angenähert und die Berechnung der Kreisfläche ist leicht fehlerhaft. Während dies einem Mathematiker unangenehm sein mag, „ignoriert“ die Mehrheit solche Unterschiede, denn wie wir gesehen haben, sind die erhaltenen Ergebnisse nicht falsch.

Die Analysis, die von Leibniz und Newton unabhängig voneinander entweder erfunden oder entdeckt wurde, basierte ebenfalls auf Infinitesimalzahlen. Dieser Zweig der Mathematik befasst sich mit Veränderungen, mit Kurven. Wenn wir beispielsweise eine Funktion integrieren, berechnen wir im Wesentlichen die Fläche unter der Kurve, die sie zeichnet. Wie bei der Berechnung der Fläche eines Kreises berechnen wir sie jedoch, indem wir die Kurve mit infinitesimal dünnen Rechtecken approximieren. Je dünner die Rechtecke sind, desto kleiner ist der Fehler.

Die Fläche eines Rechtecks ​​ist das Produkt aus seiner Länge – dem Wert auf der Y-Achse an diesem Punkt der Kurve und seiner Breite – die infinitesimale Einheit, die wir „dx“ nennen. Wir berechnen die Fläche jedes Rechtecks ​​und summieren sie, um die Fläche unter der Kurve zu bestimmen. Dies ist in der Physik sehr nützlich; zum Beispiel gibt die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve eines Körpers den Wert seiner Verschiebung an, aber sollte das Ergebnis dann nicht genauso falsch sein wie die Fläche des Kreises?

Dieses unausrottbare, unlösbare Problem beschäftigte die Mathematiker nach dem Aufkommen der Analysis zwei Jahrhunderte lang, bis das Konzept der Grenzen verfeinert wurde. Grenzen waren im Werk von Newton und Leibniz enthalten, aber sie wurden später im frühen 19. Jahrhundert modifiziert und neu definiert. Die neuen Ideen waren mathematisch streng und konsistent. Die Details würden den Rahmen dieses Artikels sprengen, aber Grenzen erlaubten es den Mathematikern, die Infinitesimale endgültig loszuwerden. Was wir immer noch nicht losgeworden sind, ist die Absurdität der Unendlichkeit.

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